数学建模之熵权法

Albus

[size=1.25]概率 P(x) 越小，信息量 I(x) 越大，原先掌握的信息不靠谱；

[size=1.25]概率 P(x) 越大，信息量 I(x) 越小，原先掌握的信息很靠谱。

[size=1.25]所以定义 I(x) = -\ln(p(x))。

[size=1.25]file:///C:/Users/19339/Desktop/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1%E4%B9%8B%E7%86%B5%E6%9D%83%E6%B3%95/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1%E4%B9%8B%E7%86%B5%E6%9D%83%E6%B3%95.assets/image-20250201100452894.png?lastModify=1738488514

[size=1.25]熵权法：是一种可以对多对象、多指标进行综合评价的方法，其评价依据来源于数据本身，几乎不受主观因素的干扰。

[size=1.25]它的基本思想是：信息熵小 \Rightarrow 得到的信息少，掌握的信息多 \Rightarrow 这组信息更常规 \Rightarrow 权重大。

[size=1.25]设事傔 X 可能发生的情况分别为：x_1, x_2, \dots, x_n，定义事傔 X 的信息熵为：

[size=1.25]H(X) = -\sum_{i=1}^{n} p(x_i) \ln(p(x_i))

[size=1.25]这个公式可以看出，信息熵的本质就是对信息量的期望值。

[size=1.25]信息熵 H(X) = \sum_{i=1}^{n} [p(x_i) I(x_i)] = - \sum_{i=1}^{n} [p(x_i) \ln(p(x_i))].

[size=1.25]当且仅当 p(x_1) = p(x_2) = \cdots = p(x_n) = \frac{1}{n} 时，H(X) 取最大值，此时 H(X) = \ln n。也就是说，

[size=1.25]信息量的期望值最大时，掌握的信息量最少。

第一步：正向化处理类型特点举例
极大型/效益型指标数值越大越好就业率、GDP、收入
极小型/成本型指标数值越小越好负债率、恩格尔系数
中间型指标越接近某个值越好黄金比例、满座率、水质pH值
区间型指标落在某个区间最好的财富差距、生育率

[size=1.25]正向化的方法并不唯一，选择合适的即可，只要能转成极大型指标都可以。

[size=1.25]file:///C:/Users/19339/Desktop/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1%E4%B9%8B%E7%86%B5%E6%9D%83%E6%B3%95/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1%E4%B9%8B%E7%86%B5%E6%9D%83%E6%B3%95.assets/image-20250201102027784.png?lastModify=1738488514

极小型转极大型：

[size=1.25]这个数值应该是越小越好，所以可以用 \max - x，或者 \frac{1}{x} (x > 0)。

中间型转极大型：

[size=1.25]数值不要太大也不要太小，越接近某个值最好，如 \langle x_i \rangle 是一组中间型指标的序列，且最佳的数值为 x_{best}，

[size=1.25]那么可以这样正向化：

[size=1.25]先取这个序列中最大差距值 M = \max \{|x_i - x_{best}|\}，再令各元素 \tilde{x}_i = 1 - \frac{|x_i - x_{best}|}{M}。

区间型转极大型：

[size=1.25]数值不要太大也不要太小，落在某个区间最好，如人体温度值落在 36 \sim 37^\circ C 最好。

[size=1.25]设对于一组区间型指标 \{x_i\} 其最佳区间为 [a, b]，那么可以这样正向化：

[size=1.25]首先计算最大值边界的最大距离 M = \max\{a - \min{x_i}, \max{x_i} - b\}，再令各元素 \tilde{x}_i 为：

[size=1.125]$$
\tilde{x}_i = \begin{cases} 1 - \frac{a - x_i}{M}, & x_i < a \\1, & a \leq x_i \leq b \\1 - \frac{x_i - b}{M}, & x_i > b\end{cases}
$$

第二步：标准化处理

[size=1.25]设有n个评价对象，m个评价指标（已正向化），构成矩阵：X：

[size=1.125]$$
X = \begin{bmatrix}x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1m} \\x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2m} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nm}\end{bmatrix}
$$

[size=1.25]设标准化的矩阵为Z，那么Z中的每一个元素为：

[size=1.125]$$
z_{ij} = \frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{ij}^2}}
$$

[size=1.25]如果其中有负元素，则令：

[size=1.125]$$
\tilde{z}_{ij} = \frac{x_{ij} - \min \{ x_{1j}, x_{2j}, \dots, x_{nj} \}}{\max \{ x_{1j}, x_{2j}, \dots, x_{nj} \} - \min \{ x_{1j}, x_{2j}, \dots, x_{nj} \}}
$$

[size=1.25]得到标准化矩阵\tilde{Z}：

[size=1.125]$$
\tilde{Z} = \begin{bmatrix}\tilde{z}_{11} & \tilde{z}_{12} & \cdots & \tilde{z}_{1m} \\\tilde{z}_{21} & \tilde{z}_{22} & \cdots & \tilde{z}_{2m} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\tilde{z}_{n1} & \tilde{z}_{n2} & \cdots & \tilde{z}_{nm}\end{bmatrix}
$$

[size=1.25]其实正向化后就可以保证标准矩阵不为负了，但为了严谨一些，我们还是照书上讲解，代码里最好也加上判断逻辑。

第三步：计算信息熵和熵权

[size=1.25]计算信息熵 e_j = - \frac{1}{lnn} \sum_{i=1}^{n} p_{ij} \ln(p_{ij}) （j = 1, 2, \dots, m），把结果规范到 [0, 1] 之间。

[size=1.25]信息效用值：d_j = 1 - e_j

[size=1.25]再将信息效用值归一化就是熵权：W_j = \frac{d_j}{\sum_{j=1}^{m} d_j} （j = 1, 2, \dots, m）