数学建模之层次分析法

Albus

用层次分析法的套路Step1: 解决评价类问题Step2: 画出层级结构图（目标层、准则层、方案层）(出现在论文里）结构图

[size=1.25]file:///C:/Users/19339/Desktop/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1%E4%B9%8B%E5%B1%82%E6%AC%A1%E5%88%86%E6%9E%90%E6%B3%95/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%BB%BA%E6%A8%A1%E4%B9%8B%E5%B1%82%E6%AC%A1%E5%88%86%E6%9E%90%E6%B3%95.assets/image-20250125110315464.png?lastModify=1738488645

[size=1.25]如果使用层次分析法的话这个结构图必须要出现在论文

Step3: 构造判断矩阵（确定评价指标就重就轻）层次分析法—矩阵一致性一致矩阵和不一致矩阵

[size=1.25]设想把一块单质量量的大小为 O 矿块 n 颗石头 C_1, C_2, \dots, C_n，它们的质量为 w_1, \dots, w_n，作比较时令 a_{ij} = w_i / w_j，得到右边的矩阵 A：

[size=1.125]$$
A = \begin{bmatrix}w_1 / w_1 & w_1 / w_2 & \dots & w_1 / w_n \\w_2 / w_1 & w_2 / w_2 & \dots & w_2 / w_n \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\w_n / w_1 & w_n / w_2 & \dots & w_n / w_n\end{bmatrix}
$$

[size=1.25]这个矩阵就是一致矩阵，因为满足 a_{ij} = a_{jk} = a_{ik}, i, j, k = 1, 2, \dots, n。

[size=1.25]对于一致矩阵，具有两个性质（证明见精通篇）：

• [size=1.25]A 的秩 1, A 的唯一特征值为 n；
• [size=1.25]A 的任一列向量量都是对于特征根 n 的特征向量。
  
  

[size=1.25]从性质 1 也可以看出，只要满足 行/列成倍 关系，就是一致矩阵。

[size=1.25]一致性矩阵用来判断矩阵“矛盾”的问题，所以在使用判断矩阵之前要先检验其一致性

一致性的判断方法：（证明见精通篇）

• [size=1.25]正互反矩阵A的秩1, A的唯一—非零特征根为n；
• [size=1.25]正互知矩阵A的任一列向量量都是对于特征根n的特征向量；
• [size=1.25]当正互知矩阵A不为一致矩阵时，其最大特征根\lambda_{max} > n。\lambda与n​相差越大，其不一致程度越大。
  
  

一致性检验方法

[size=1.25]计算一致性指标，CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}，CI 的取值范围：

• [size=1.25]CI = 0，有完全一致性
• [size=1.25]CI 接近 0，满足一致性
• [size=1.25]CI 越大，一致性越差
  
  

[size=1.25]为了衡量 CI 的大小，引入随机一致性指标 RI，先构造 500 个判断矩阵 A_1, A_2, \dots, A_{500} 分别计算其 \lambda_{max}，于是得到它们的一致性指标 CI_1, CI_2, \dots, CI_{500}：

[size=1.125]$$
RI = \frac{CI_1 + CI_2 + \dots + CI_{500}}{500} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_{500} - 500n}{500(n - 1)}
$$

[size=1.25]常用随机一致性指标如下表所示：

n1234567891011
RI00.580.901.121.241.321.411.451.491.511.49

[size=1.25]以上表格也可写入论文中

一致性检验方法

[size=1.25]计算一致性指标，CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}，CI 的取值范围：

• [size=1.25]CI = 0，有完全一致性
• [size=1.25]CI 接近 0，满足一致性
• [size=1.25]CI 越大，一致性越差
  
  

[size=1.25]为了衡量 CI 的大小，引入随机一致性指标 RI，先构造 500 个判断矩阵 A_1, A_2, \dots, A_{500} 分别计算其 \lambda_{max}，于是得到它们的一致性指标 CI_1, CI_2, \dots, CI_{500}：

[size=1.125]$$
RI = \frac{CI_1 + CI_2 + \dots + CI_{500}}{500} = \frac{\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_{500} - n}{500(n - 1)}
$$

[size=1.25]常用随机一致性指标如下表所示：

n1234567891011
RI00.580.901.121.241.321.411.451.491.511.49一致性检验方法

[size=1.25]定义一致性比例 CR = \frac{CI}{RI}。

[size=1.25]如果 CR < 0.1，则可以判定矩阵的一致性可以接受；否则需要对判断矩阵进行修正。（证明见精通篇）

[size=1.25]所以进行一致性检验需要用到以下两个公式：

[size=1.25]一致性指标：

[size=1.125]$$
CI = \frac{\lambda_{max} - n}{n - 1}
$$

[size=1.25]一致性比例：

[size=1.125]$$
CR = \frac{CI}{RI} \quad \text{如果} \quad CR \leq 0.1, \quad \text{判断矩阵一致}； CR > 0.1, \quad \text{判断矩阵不一致}
$$

[size=1.25]如果大于 0.1 怎么办？

[size=1.25]强化一致性上靠，调整成倍数关系即可。

特征值法求权重 （重点）苏杭北戴河桂林
苏杭125
北戴河1/212
桂林1/51/21

两种求权重法的区别与联系

[size=1.25]在实际比赛和科研中，用特征值法求权重更常用也更方便，在非一致性不大的情况下，二者计算的权重相差也并不大，可实际生活中的数据一致性并非那么强，因此建议用特征值法。当需要为复杂数的话也可以两种方法都用，然后取平均值。

Step4: 根据评价指标对各个方案进行打分Step5: 求权重，填表，求得最后分得到总表：
Step6: 层次总排序一致性检验

[size=1.25]